Introduction à l'Algèbre Abstraite

L'algèbre abstraite, aussi appelée algèbre moderne, est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques — des ensembles munis d'opérations satisfaisant certains axiomes. Contrairement à l'algèbre élémentaire qui manipule des nombres et des variables, l'algèbre abstraite s'intéresse aux propriétés communes à une vaste classe d'objets mathématiques : nombres, matrices, polynômes, permutations, fonctions, et bien d'autres.

L'histoire de l'algèbre abstraite est intimement liée à la tentative de résoudre des équations polynomiales. Les Babyloniens résolvaient déjà des équations quadratiques vers 2000 av. J.-C. La formule du troisième degré fut découverte au XVIe siècle par des mathématiciens italiens. C'est la question de la résolution par radicaux des équations de degré supérieur qui conduisit aux travaux révolutionnaires d'Évariste Galois et Niels Henrik Abel au XIXe siècle.

Une structure algébrique est définie par un ensemble E et une ou plusieurs opérations binaires sur cet ensemble (c'est-à-dire des lois qui associent à deux éléments de E un troisième élément de E). L'étude de ces structures repose sur la notion d'axiome : des propriétés que l'on exige de ces opérations, comme l'associativité, la commutativité, l'existence d'un élément neutre ou d'éléments inverses.

Pourquoi étudier des structures si abstraites ? Parce que cette généralisation permet d'unifier des résultats disparates et de résoudre des problèmes de façon plus élégante et plus puissante. Un théorème démontré pour une structure abstraite s'applique automatiquement à toutes ses instances concrètes. L'algèbre abstraite est aujourd'hui fondamentale en cryptographie, en physique théorique, en informatique théorique, et dans de nombreuses autres disciplines.