Anneaux et Corps

Un anneau est une structure algébrique munie de deux opérations : une addition et une multiplication. L'ensemble doit former un groupe abélien pour l'addition, la multiplication doit être associative, et la multiplication doit être distributive par rapport à l'addition. Les entiers relatifs, les polynômes à coefficients réels, et les matrices carrées de taille fixe sont des exemples canoniques d'anneaux.

Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la multiplication est commutative. Les polynômes R[X] sur un corps R sont un exemple fondamental d'anneau commutatif. Un idéal est un sous-ensemble d'un anneau analogue à un sous-groupe normal : il permet de construire des anneaux quotients. La notion d'idéal premier et d'idéal maximal généralise celle de nombre premier aux anneaux abstraits.

Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible pour la multiplication. Les nombres rationnels, réels et complexes forment des corps. Les corps finis, ou corps de Galois, sont des objets fascinants : pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1, il existe (à isomorphisme près) un unique corps à pⁿ éléments, noté GF(pⁿ) ou F_{p^n}.

Les extensions de corps sont au cœur de la théorie de Galois. Étant donné un corps de base F, une extension L de F est un corps contenant F. Le degré [L:F] mesure la « taille » de l'extension. La construction d'extensions permet, par exemple, d'obtenir le corps des complexes C comme extension de degré 2 du corps des réels R, en ajoutant un élément i tel que i² = -1.

La théorie de Galois établit une correspondance profonde (la correspondance de Galois) entre les sous-corps d'une extension et les sous-groupes de son groupe de Galois. Cette correspondance permet de traduire des problèmes sur les extensions de corps en problèmes sur les groupes, et vice-versa. C'est grâce à elle que Galois prouva l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 en général.