Groupes
Un groupe est la structure algébrique la plus fondamentale. Formellement, un groupe est un ensemble G muni d'une opération binaire (souvent notée · ou +) satisfaisant quatre axiomes : la fermeture (le résultat de l'opération reste dans G), l'associativité, l'existence d'un élément neutre, et l'existence d'un inverse pour tout élément. Si de plus l'opération est commutative, le groupe est dit abélien ou commutatif.
Les exemples de groupes sont omniprésents. Les entiers relatifs munis de l'addition forment un groupe abélien. Les matrices inversibles de taille n×n avec la multiplication forment un groupe non commutatif, le groupe général linéaire GL(n). Les rotations d'un carré forment le groupe diédral D4. Le groupe des permutations de n objets, noté Sn, joue un rôle central en algèbre et en combinatoire.
Un sous-groupe est un sous-ensemble d'un groupe qui est lui-même un groupe pour la même opération. Le théorème de Lagrange établit que l'ordre (le nombre d'éléments) de tout sous-groupe divise l'ordre du groupe fini. Ce résultat, d'une élégance remarquable, a de nombreuses conséquences : par exemple, un groupe d'ordre premier n'a pas de sous-groupe non trivial.
Les homomorphismes de groupes sont des applications qui préservent la structure de groupe. Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif : deux groupes isomorphes ont exactement les mêmes propriétés structurelles. Le noyau d'un homomorphisme est toujours un sous-groupe distingué (normal), et le théorème fondamental des homomorphismes établit un lien précis entre un homomorphisme et le quotient par son noyau.
La théorie des groupes a des applications spectaculaires. En physique des particules, les symétries fondamentales de la nature sont décrites par des groupes de Lie. En cristallographie, les 230 groupes d'espace classifient toutes les symétries possibles d'un cristal. En cryptographie, les groupes sur les courbes elliptiques sont la base de nombreux protocoles de chiffrement modernes, dont ceux utilisés pour sécuriser les communications sur internet.